Дан треугольник АВС. На сторонах АВ и АС соответственно отложены точки D и Е так, что DE = 9 см и AD BD 4 3. Через точки В и С проведена плоскость а, которая параллельна отрезку DE. Чему равна сторона BC

Построим треугольник ADE и проведем отрезок AC, параллельный DE. Обозначим точку пересечения отрезков AC и DE как F.

Так как AE∥FC, то по теореме Фалеса получаем, что
AF/AC = AD/AE = 4/3.

Также по теореме Фалеса имеем
BF/BA = BD/DE = 4/9.

Заметим, что треугольники ACB и FEB подобны, так как AC∥FE и BC∥EB (по построению плоскости а). Также треугольники FED и BCD подобны, так как DE∥BC и FD∥BD.

Из подобия треугольников ACB и FEB имеем:
BC/EB = AC/FE = AC/(DE+AF) = AC/(9+4/3) = AC/(21/3 + 4/3) = AC/(25/3) = 3AC/25.

Из подобия треугольников FED и BCD имеем:
BC/BD = DE/DF = 9/(AD+AF) = 9/(4+4/3) = 9/(12/3+4/3) = 9/(16/3) = 27/16.

Так как BF = BA – AF = BA – AF = BA – (AC – FC) = BA – AC + FC = BA – AC + 3AB/25, то из подобия треугольников ACB и FEB получим:
BC/(BA – AC + 3AB/25) = 27/16.

Раскрываем скобки:
BC/(BA – AC) + 3BC/25 = 27/16.

Переносим 3BC/25 на другую сторону и переносим BC/(BA – AC) налево:
BC/(BA – AC) – 27/16 = -3BC/25.

Общий знаменатель:
25BC/(BA – AC) – 27(3BC)/16 = 0.

Домножаем все на 16(25)(BA – AC):
16(25)BC – 27(3BC)(BA – AC) = 0.

Раскрываем скобки:
400BC – 81BC(BA – AC) = 0.

Меняем местами слагаемые и делим на 400:
81BC(BA – AC) = 400BC.

BC сокращается:
81(BA – AC) = 400.

Делим на 81:
BA – AC = 400/81.

BA = AC + 400/81.

Таким образом, сторона BC равна AC + 400/81.