Дан угол АВС на бисиктрисе этого угла взята точка D. Через точку D проведены прямые пересекающие стороны угла в точках K и M. Так, что BK =BM . Найти DM если DK=6 см

Для решения задачи, нам понадобятся геометрические свойства угла и свойство биссектрисы этого угла.

Шаг 1: Из свойства биссектрисы угла, мы знаем, что точка D делит сторону BC на отрезки BD и CD так, что отношение BD к CD равно отношению BA к CA. То есть BD/CD = BA/CA.

Шаг 2: Поскольку BK=BM, то отрезки BK и MK также делят сторону BC на отрезки BD и CD в том же отношении, то есть BD/CD = BK/MK.

Шаг 3: Так как DK = 6 см, и мы знаем, что BK + DK = BM + MK, то BM = BK + DK = BM + MK.

Шаг 4: Заметим, что BM – MK = BM – (BK + DK) = BD, поскольку BK=Mк.

Шаг 5: Из шага 2 и шага 4, мы получаем BD/CD = BM/MK = BM/(BM-MK) = BM/BD.

Шаг 6: Поскольку BD/CD = BA/CA из шага 1, то BM/BD = BA/CA.

Шаг 7: Так как BM= (BK+DK), то BM = 2BK .

Шаг 8: Из шага 6 и шага 7, мы получаем BA/CA = 2BK/BD

Шаг 9: Поскольку DK=6 см, то сумма BD и CD равна длине стороны BC, то есть BD+CD=BC.

Шаг 10: Из шага 9, BD+CD=BC, и BK=BM/2, мы можем записать следующее уравнение – BD+BD/2=(1+1/2)BD=(3/2)BD=BC

Шаг 11: Отсюда, BD = (2/3)BC, а CD = BC-(2/3)BC = (1/3)BC.

Шаг 12: Поскольку BD/CD = BA/CA из шага 8, мы можем записать следующее уравнение – (2/3)BC/(1/3)BC = BA/CA

Шаг 13: Упрощая уравнение, получаем 2 = BA/CA.

Шаг 14: Заметим, что треугольник BDC и треугольник ACD подобны, поскольку у них есть две равные пары углов.

Шаг 15: Из шага 14, мы знаем, что BD/DC = BA/AC.

Шаг 16: Поскольку BD=(2/3)BC и CD=(1/3)BC из шага 11, мы можем записать следующее уравнение – (2/3)BC/(1/3)BC = (2/3)BC/DC.

Шаг 17: Упрощая уравнение, получаем 2 = BD/DC.

Шаг 18: Так как BD=(2/3)BC и CD=(1/3)BC из шага 11, мы можем записать следующее уравнение – 2 = (2/3)BC/(1/3)BC.

Шаг 19: Упрощая уравнение, получаем 2 = (2/3)/(1/3) = (2/3)*(3/1) = 2.

Шаг 20: Отсюда, получаем, что уравнение верно для всех значений BD и DC.

Шаг 21: Так как BD+CD = BC, мы можем записать следующее уравнение – (2/3)BC + (1/3)BC = BC.

Шаг 22: Упрощая уравнение, получаем BC = BC.

Шаг 23: Значит, мы можем сделать вывод, что BD = (2/3)BC = (2/3)*BC = (2/3)*BC.

Шаг 24: Исходя из шага 16 и шага 17, BD/DC = 2 = (2/3)BC/(1/3)BC.

Шаг 25: Упрощая уравнение, получаем 2 = 2.

Шаг 26: Заметим, что полученное уравнение верно для всех значений BD и DC.

Шаг 27: Исходя из шага 23 и шага 25, мы можем сделать вывод, что DM = (2/3)DK = (2/3)*6 = 4 см.

Итак, мы нашли, что DM = 4 см, что и требовалось доказать.