Доказательство:
1. Обозначим центр окружности, касающейся сторон BC, CD и DA, через O.
2. Проведем радиусы окружностей, которые касаются сторон BC и DA, до их точек касания с соответствующими сторонами. Обозначим эти точки как E и F соответственно.
3. Так как окружность, описанная около четырехугольника ABCD, имеет радиус, равный расстоянию от центра до любой из вершин ABCD, то радиус равен расстоянию от центра O до вершин A и B.
4. Поскольку точка F находится на радиусе, она равноудалена от точек O и A. Аналогично, точка E равноудалена от точек O и B.
5. Так как точки E и F находятся на одной прямой, проведенной через точки O и AB, и находятся на этой прямой на одинаковом расстоянии от точек A и B, то и сама прямая EF делит отрезок AB пополам.
6. Следовательно, точка O является серединой отрезка AB.
7. Так как AD и BC являются диаметрами окружности, описанной около четырехугольника ABCD, то углы BAD и BCD являются прямыми углами.
8. Следовательно, углы BAD и BCD являются смежными с центральным углом BOD.
9. Поскольку смежные центральные углы равны, то углы BAD и BCD равны между собой.
10. Таким образом, треугольники AOB и COB являются подобными.
11. Тогда можно использовать соотношение длин сторон подобных треугольников: AD/BC = AO/CO.
12. Так как точка O является серединой отрезка AB, то AO = BO.
13. Значит, AD/BC = BO/CO = AB/BC.
14. Переписывая это соотношение, получаем AD = AB.
15. Подставляя это обратно в исходное равенство, получаем AD + BC = AB.
16. Таким образом, доказывается, что AD + BC = AB.
В результате проведения вышеперечисленных шагов, мы показали, что сумма длин сторон AD и BC равна длине стороны AB в данном четырехугольнике ABCD с окружностью, описанной окружностей с центром на стороне AB, касающейся остальных трех сторон.