На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть ABCD — основание призмы, E и F — вершины дуг, окружностей, описанных около ABCD, и G и H — вершины дуг окружностей, описанных около BCF и AED. Поскольку основание призмы ABCD — прямоугольник, у него равные стороны AB и BC. Поскольку все ребра призмы равны 2, получаем, что BC = AB = AD = CD = 2.
Так как все стороны прямоугольника ABCD равны 2, можно заключить, что около него можно описать окружность. Из геометрии известно, что диагональ прямоугольника — диаметр его описанной окружности. Поэтому, диагональ прямоугольника ABCD равна диаметру окружности, описанной около этого прямоугольника. Пусть O — центр окружности. Тогда OA = OB = OC = OD = 2.
Также дано, что около этой призмы можно описать цилиндр. Это означает, что окружность с центром O можно вписать в основание этого цилиндра. Таким образом, радиус r окружности, вписанной в основание цилиндра равен 2/2 = 1. Это же значение радиуса является диагональю прямоугольника ABCD, описанного вокруг цилиндра.
Рассмотрим плоскость, содержащую диагональ ABCD. Пусть точка P лежит на диагонали ABCD и на окружности, описанной около ABCD. Поэтому точка P лежит в плоскости, проходящей через диагональ ABCD и центр O окружности. В этой плоскости рассмотрим окружность HFDCG. Радиус этой окружности — половина диагонали ABCD равный 2/2 = 1.
Теперь рассмотрим треугольник OPQ, где O — центр окружности, вписанной в одно основание цилиндра и имеющей радиус R равный 1; P — точка пересечения диагонали ABCD и окружности, описанной около ABCD, а Q — точка пересечения радиуса OP со стороной AD призмы.
Заметим, что треугольники OPQ и CBQ равны по двум сторонам и углу между этими сторонами (сторона PQ иудуга AQD совпадают, стороны QP и BC равны по построению, и, так как AP — высота равнобедренного треугольника ABC, и P лежит на диагонали ABCD, то угол APQ равен углу ABQ). Поэтому угол OQP равен углу CBA. Но этот угол равен 90 градусам, так как ABCD — прямоугольник. Значит угол OQP равен 90 градусам.
Полученные результаты позволяют нам использовать теорему Пифагора для треугольника OPQ: OP^2 = OQ^2 + PQ^2. Подставим известные значения: R^2 = 1^2 + 2^2=1+4=5. Значит OP = √5.
Теперь мы можем вычислить высоту цилиндра, опирающуюся на сторону AD призмы. Эта высота равна рассчитанной диагонали OP: h = OP = √5.
Так как площадь основания цилиндра равна площади прямоугольника ABCD, мы можем найти ее, умножив длину и ширину основания: S = AB * BC = 2 * 2 = 4.
Объем цилиндра можно найти как произведение площади основания на высоту: V = S * h = 4 * √5.
Итак, объем призмы равен 4 * √5, а площадь полной поверхности цилиндра равна 4+2πR^2, где R=1. Подставляя значения, получаем, что площадь полной поверхности цилиндра равна 4+2π.
