Пусть M, N, P – соответственно середины ребер AD, BE, AC.
1. Докажем, что прямая MN параллельна плоскости ABCD. Поскольку треугольник ABC правильный, то AM делит угол BAC пополам. Также, АM || BC, так как это высота треугольной пирамиды DABC, которая перпендикулярна основанию ABC. Аналогично, BN || AC и CP || AB. Таким образом, MN || CP и следовательно, MN параллельна плоскости ABCD.
2. Заметим, что MP является высотой треугольника ABC, так как AD || BC. Таким образом, треугольник MPN тоже является правильным.
3. Покажем, что треугольник AMN равнобедренный. Поскольку AM || BC (и следовательно, AM ⊥ BC) и MN || CP (и следовательно, MN ⊥ CP), то треугольник AMN является прямоугольным. Из предыдущего пункта мы уже знаем, что треугольник MPN равнобедренный. Так как AM = MP и MN = PN, то по двум сторонам и углу треугольник AMN также равнобедренный.
4. Поскольку AMN – прямоугольный равнобедренный треугольник, то его высота, проведенная из вершины M, проходит через середину его основания. Так как точка P лежит на высоте треугольника MPN и на высоте треугольника AMN, то она является серединой основания треугольника AMN. Аналогично, точки M и N являются серединами оснований треугольников MPN и ABN соответственно.
5. Теперь рассмотрим прямоугольник MNPQ, для того, чтобы доказать, что ABCD будет его сечением. Точка Q – середина ребра BD (так как AD || BC и AM = MP). Аналогично, точка F – середина ребра CD и точка E – середина ребра AB. Таким образом, четыре середины ребер треугольной пирамиды DABC задают прямоугольник MNPQ.
Таким образом, сечение, проведенное через середины ребер AD, BE, AC является прямоугольником MNPQ. Оно доказано.