Предположим, что точка O – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD. Нам нужно доказать, что отношение расстояний от точки O до оснований AB и CD трапеции равно отношению расстояний от точки O до боковых сторон BC и AD трапеции.
1. Нарисуем высоту OE, опущенную из точки O на ось AB. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то OE будет перпендикулярна к стороне AB и точке O, а также является высотой трапеции.
2. Посмотрим на треугольники AOE и COE. Они являются прямоугольными треугольниками, так как OE – это высота, а все основания (стороны треугольников) являются радиусами трапеции.
3. Таким образом, треугольники AOE и COE подобны друг другу по принципу TT (Триккутинная Теорема).
4. Запишем соотношение сторон треугольников AOE и COE: AO/OE = CO/OE или AO:OE = CO:OE. От сюда можно сделать вывод, что AO:OE = CO:OE.
5. Вычтем из обоих частей равенства единицу (поскольку OE – это одно и то же отношение в обоих треугольниках): AO/OE – 1 = CO/OE – 1 или AO:OE – 1 = CO:OE