а) Для доказательства равенства FE_EH=FD:DH мы можем использовать подобие треугольников.
Заметим, что треугольники FDE и HDE равнобедренные, так как FH – диагональ трапеции, которая делит ее на два равнобедренных треугольника с основаниями EH и GH. Это значит, что у них равны боковые стороны DE и DF, а также углы при вершинах D и E.
Теперь сравним треугольники FDE и HDE. У них есть общая сторона DE и равные углы при вершинах D и E, поэтому они подобны. Будем обозначать соответствующие стороны треугольников FDE и HDE как x и y. Также известно, что FE_EH=FD:DH, поэтому соотношение сторон в этих треугольниках также будет равным x:y.
Итак, мы доказали, что треугольники FDE и HDE подобны, и соотношение сторон в них равно x:y. Отсюда следует, что FE_EH=FD:DH.
б) Так как треугольники FDE и HDE подобны, FE_EH=FD:DH.
Известно, что EG=6 и FH=3.25. Заметим, что треугольник FHE является прямоугольным, так как его диагонали пересекаются под прямым углом. Используя теорему Пифагора, можем записать:
(EH)²=(FG)²-(EG)²= h² – 6² = h² – 36
и
(HF)²=(FG)²-(FH)² = h² – 3.25² = h² – 10.5625.
Заметим также, что треугольники FDE и HDE – равнобедренные, поэтому DE=DF=d.
Используя подобие треугольников FDE и HDE, можем записать:
FE_HE=DF:HD=d:DH.
Отсюда получаем, что d=DH.
Так как DE=d, то EH=ED+d=ED+DH.
Следовательно, EH=2ED.
Выразим ED через высоту h:
ED=h/2
Тогда EH=2ED=h.
Теперь воспользуемся формулой для площади трапеции:
S=(a+b)h/2,
где a и b – основания трапеции, h – высота.
S=(EH+FG)h/2 = (h+6)h/2.
Так как FG=EG, то FG=6.
Подставляем известные значения:
3.25*6 = (h+6)h/2.
19.5 = (h+6)h/2.
Умножим обе части на 2:
19.5*2 = (h+6)h.
39 = h²+6h.
h²+6h-39=0
Решаем квадратное уравнение полученное квадратного уравнения:
(h+13)(h-3)=0.
Отсюда получаем, что h=3 или h=-13.
Так как высота не может быть отрицательной, то решением будет h=3.
Таким образом, GH=FG=6.