Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами равностороннего треугольника.
Шаг 1: Обозначим точку пересечения высоты DA с основанием BC как точку Е. Так как △BCD — равносторонний, то DE является медианой, а следовательно, делит сторону BC пополам (то есть BE = EC).
Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник DAE. Он прямоугольный, так как △BAC — прямоугольный (из условия ∠BAC = 90°) и DA ⊥ (ABC). Значит, мы можем применить теорему Пифагора.
Шаг 3: Из равносторонности △BCD получаем, что BC = CD = BD. Значит, CE = BD/2.
Шаг 4: Из теоремы Пифагора получаем: DA^2 = DE^2 + AE^2.
Шаг 5: Заменим значения DE и AE на известные величины. DE = BD – BE = BD – CE = BD – BD/2 = BD/2. AE = BC – BE = BC – CE = BD – BD/2 = BD/2.
Шаг 6: Подставим значения DE и AE в уравнение DA^2 = DE^2 + AE^2.
Шаг 7: Получим AD^2 = (BD/2)^2 + (BD/2)^2.
Шаг 8: Упростим выражение AD^2 = BD^2/4 + BD^2/4.
Шаг 9: Получаем AD^2 = BD^2/2.
Шаг 10: Заменим известные значения. AD = 4 см, следовательно, AD^2 = 4^2 = 16.
Шаг 11: Подставим значение AD^2 в уравнение и решим его: 16 = BD^2/2.
Шаг 12: Умножим обе части уравнения на 2: 32 = BD^2.
Шаг 13: Избавимся от квадрата, взяв квадратный корень: BD = √(32) = 4√2 см.
Шаг 14: Площадь основания пирамиды ABCD равна площади равностороннего треугольника BCD. Площадь равностороннего треугольника равна (сторона^2) * (√3 / 4), где сторона – длина стороны треугольника.
Шаг 15: Подставим значение BD в формулу площади равностороннего треугольника: Площадь основания = (4√2)^2 * (√3 / 4) = 16 * 3 / 4 = 12 см^2.
Ответ: Площадь основания пирамиды DABC равна 12 см^2.