Для решения задачи мы можем использовать свойства параллелепипеда и тригонометрии. Задача требует найти высоту параллелепипеда, которая обозначается как h.
Шаги решения:
1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ, и перпендикулярной основанию. Обозначим точки пересечения с плоскостью параллелепипеда как E и F, где E лежит на стороне AB, а F на стороне CD.
2. Так как диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом 45°, это означает, что угол между диагональю и стороной AB или CD равен 45°. То есть AE или DE будут равными сторонами прямоугольного треугольника.
3. Из свойств прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AED: (AE)^2 + (AD)^2 = (ED)^2. Заметим, что AD равняется высоте параллелепипеда h, поэтому (AE)^2 + h^2 = (ED)^2.
4. Так как AE равно стороне AB, которая равна 10, а ED равно стороне BC, которая равна 15, у нас есть уравнение 10^2 + h^2 = 15^2, или 100 + h^2 = 225.
5. Решим уравнение для h^2: h^2 = 225 – 100 = 125.
6. Возведем обе части уравнения в квадратный корень: h = √125.
7. Упростим корень: h = 5√5.
Таким образом, высота параллелепипеда равна 5√5.