На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Чтобы доказать параллельность плоскостей ABC и A1B1C1, нужно показать, что их нормали коллинеарны.
Плоскости ABC и A1B1C1 можно представить уравнениями вида Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) – нормаль к плоскости.
Итак, пусть вектор нормали к плоскости ABC – (a, b, c), а вектор нормали к плоскости A1B1C1 – (a1, b1, c1). Нам дано, что точки АА1, ВВ1 и СС1 лежат на обеих плоскостях. Это значит, что нормали к этим плоскостям перпендикулярны векторам АА1, ВВ1 и СС1.
Используя информацию о нормальных векторах, мы можем записать следующую систему уравнений:
a*AA1 + b*BB1 + c*CC1 = 0 — (1)
a1*AA1 + b1*BB1 + c1*CC1 = 0 — (2)
Так как АА1 = BB1 = CC1, то можно записать это как:
a*(AA1) + b*(AA1) + c*(AA1) = 0 — (1′)
a1*(AA1) + b1*(AA1) + c1*(AA1) = 0 — (2′)
Теперь мы знаем, что векторы нормали к плоскости ABC и A1B1C1 перпендикулярны вектору АА1 и коллинеарны друг другу.
Поскольку нормали коллинеарны, можно записать:
a = ka1
b = kb1
c = kc1
Подставим это в уравнение (1′):
ka1*(AA1) + kb1*(AA1) + kc1*(AA1) = 0
Аналогично, подставим в уравнение (2′):
ka1*(AA1) + kb1*(AA1) + kc1*(AA1) = 0
Видим, что коэффициенты k сокращаются, и получаем:
a1*(AA1) + b1*(AA1) + c1*(AA1) = 0
То есть, нормали этих плоскостей коллинеарны, что доказывает их параллельность.
Таким образом, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны.
