Дано изначально треугольник ABC, в котором AB = BC, и точка D, такая что BD перпендикулярно AB и BD перпендикулярно BC. Нам нужно доказать, что BD перпендикулярно окружности (ABC).
Первым шагом заметим, что BD является высотой треугольника ABC, проходящей через его вершину B. Это означает, что BD перпендикулярно AC.
Далее рассмотрим два случая:
1) Если точка D лежит на окружности (ABC). Тогда AC является диаметром окружности. Известно, что диаметр окружности перпендикулярен любой хорде, проведенной через ее центр. Таким образом, BD, проходящая через вершину B, является хордой окружности (ABC) и перпендикулярна диаметру AC, следовательно, она также перпендикулярна окружности (ABC).
2) Если точка D не лежит на окружности (ABC), в этом случае треугольник ABD подобен треугольнику CBD по двум сторонам AB=BC и BD общая сторона. Из свойства подобных треугольников, углы при высотах, проведенных из вершины, равны. Значит угол BDA равен углу BDC. Также заметим, что угол BDA является прямым, так как BD перпендикулярно AB. Значит и угол BDC является прямым углом. Из основания перпендикуляров AB и BC, точка D лежит на окружности с диаметром BC. Так как угол BDC равен 90 градусам, BD перпендикулярна окружности (ABC).
Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что BD перпендикулярно (ABC).