В данной задаче нужно доказать, что отрезки AA1 и BB1, перпендикулярные медиане CM в треугольнике ABC, равны между собой.
Решение:
1. Вспомним определение медианы треугольника: медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2. Так как CM – медиана треугольника ABC, то A1 и B1 – середины сторон AC и BC соответственно.
3. Следовательно, A1M и B1M – это отрезки, соединяющие середины сторон AC и BC с точкой M – серединой стороны AB. Аналогично, A1C и B1C – это половины сторон AC и BC.
4. Из треугольника ABC мы знаем, что AM = MB, так как M – середина стороны AB.
5. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники АА1М и ВВ1М: у них АМ = МВ основание равно, так как М – середина, и угол МВ1В равен углу МА1А, так как АА1 ⊥ МС и ВВ1 ⊥ МС.
6. Из равенства сторон и равенства углов следует, что треугольники АА1М и ВВ1М равны по двум сторонам и по углу между ними (по стороне АМ, стороне МВ и углу МВ1А1).
7. Следовательно, по свойству равенства равны и противоположные им стороны. То есть, АА1 = ВВ1.
Таким образом, мы доказали, что отрезки АА1 и ВВ1 равны между собой, что и требовалось доказать.