Доказательство:
1. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то мы знаем, что AB⊥AC.
2. Точка M лежит на отрезке AC, поэтому AM⊥MC.
3. Допустим, что AC не перпендикулярно AM. Это означает, что угол CAM не является прямым углом.
4. Поскольку треугольник ABC является прямоугольным и угол CAM не является прямым углом, угол CAB будет меньше 90 градусов.
5. Рассмотрим теперь треугольник AMB. Так как AB⊥AC и AB⊥AM, то угол BAM является прямым углом.
6. Но мы знаем, что угол CAB меньше 90 градусов, а значит, угол BAM будет больше 90 градусов, так как BAM=180-CAB.
7. Получили противоречие: угол BAM не может быть одновременно прямым и больше 90 градусов.
8. Значит, предположение неверно, и AC перпендикулярно AM.
Таким образом, мы доказали, что AC перпендикулярно AMB.