Для доказательства BM = PK воспользуемся свойствами параллелограмма.
Шаг 1.
По определению параллелограмма, противоположные стороны параллельны. Это означает, что BC || AK и PC || BM.
Шаг 2.
Угол BAM = угол PCK (дано). Угол BAM также равен углу AMK, так как M лежит между точками B и K. Следовательно, угол AMK = угол PCK.
Шаг 3.
Параллельные прямые пересекаются, образуя поперечники пропорциональные и равны углам. Это означает, что угол BMK = угол KCP.
Шаг 4.
Углы AMK и BMK смежные и равны (угол AMK = угол BAM = угол BMK из шага 2). Углы KCP и PCK также смежные и равны (угол KCP = угол PCK).
Шаг 5.
По следствию из теоремы об углах, доказанных равными (Если два угла смежные и равны соответственно двум другим смежным углам, то эти два смежных угла равны между собой), угол BMK = угол KCP.
Шаг 6.
Так как углы BMK и KCP равны (из шага 5), а параллельные прямые BC и PK пересекаются точкой K, получаем, что треугольник BMK равен треугольнику KCP по стороне МК (общей стороне) и двум равным углам.
Шаг 7.
Так как два треугольника равны (из шага 6), то их стороны соответственно равны. Это означает, что BM = PK (соответствующие стороны равных треугольников равны).
Таким образом, доказано, что BM = PK.