1. Обозначим точку пересечения отрезков DL и DK как точку P. Так как DL перпендикулярна AB и DK перпендикулярна BC, то AB || BC и ADK является равнобедренным треугольником, так как DK = DL.
2. Так как точки A, B и O лежат на окружности (ABC), то треугольник AOB является остроугольным треугольником.
3. Так как ADK – равнобедренный треугольник и AB || BC, то угол ADB = угол ABC. Аналогично, угол CDB = угол CAB.
4. Рассмотрим треугольник ADO. Так как угол ODC = 90 градусов, то треугольник ODC прямоугольный.
5. Так как точки O, D и P лежат на прямой DO, то по свойству прямоугольного треугольника ODC, точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ADC.
6. Рассмотрим треугольник BDP. Так как угол CDB = угол CAB, то треугольники BDP и BAC подобны.
7. Так как DBP тоже подобен DAC, то угол BDP = угол BAC.
8. Из пункта 3 следует, что угол ADB = угол ABC, а из пункта 7 – что угол BAC = угол BDP. Из этого следует, что угол ADO = угол ODB.
9. Таким образом, треугольники ADO и BDO равнобедренные и O – точка пересечения их высот. Это означает, что O – центр вписанной окружности треугольника ABC.
