Введем дополнительные обозначения. Пусть E — середина отрезка BC, F — середина отрезка DC. Также обозначим угол ASD через α.
Шаг 1: Докажем, что треугольник AFE — прямоугольный.
Так как AB ≠ AD, треугольник ABD не является равнобедренным. Поэтому, BE ≠ DE и треугольник BDE не является равнобедренным. Таким образом, отрезки BE и DE не равны между собой.
Так как E — середина отрезка BC, согласно свойству серединного перпендикуляра, AE ⊥ BC. То же самое справедливо для отрезка SD, так как F — середина отрезка DC.
Треугольники ASB и ASD — прямоугольные, так как SB = 4 и SD = √5.
Шаг 2: Докажем, что треугольник AFE — равнобедренный.
Так как угол ASD — прямой, угол ASB — прямой и треугольникы ASB и ASD — прямоугольные, то у них есть общий угол. Значит, ASB и ASD — подобные треугольники.
Также, так как SB ≠ SD, треугольник ASB не является равнобедренным.
Таким образом, углы ASB и AFE равны. То есть, треугольник AFE — равнобедренный.
Шаг 3: Докажем, что AS ⊥ ABC.
Предположим, что AS не перпендикулярно ABC. То есть, найдется точка G на отрезке AE такая, что SG ⊥ AB.
Так как ASB и AFE — подобные треугольники, у них согласно свойству подобных треугольников есть параллельные стороны: AB || EF.
Так как AB || EF и SG ⊥ AB, то SG || EF. Но это невозможно, так как угол SGA — прямой, и SG должен пересекать EF.
Таким образом, предположение неверно и AS перпендикулярно ABC.
Заключение: Треугольник ASB — прямоугольный, треугольник AFE — равнобедренный, и AS перпендикулярно ABC.