Для доказательства того, что DM перпендикулярна AC, нам нужно показать, что угол DMK равен 90 градусам, где K – точка пересечения прямых DM и AC.
1. Рассмотрим треугольник BCM. Учитывая, что ABC – треугольник прямоугольный, у нас есть AB = BC = 2√2. Значит, треугольник BCM – равнобедренный, и угол MCB равен углу MBC.
2. Из равенства углов следует, что треугольники MCB и DMK подобны. Поэтому отношение сторон в этих треугольниках равно:
MB / MD = MC / MK
3. Зная значения сторон треугольников (MB= √5 и MC = 2√2), мы можем записать:
√5 / DM = 2√2 / MK
4. Раскрывая пропорцию, получаем:
MK = (2√2 * DM) / √5
5. Применяем теорему Пифагора для треугольника BMK:
MK^2 + BM^2 = BK^2
((2√2 * DM) / √5)^2 + √5^2 = BK^2
(8 * DM^2 / 5) + 5 = BK^2
6. Заметим, что BM = BD + DM = √5 + DM. Используя это равенство, мы можем переписать предыдущее уравнение:
(8 * DM^2 / 5) + 5 = (√5 + DM)^2
(8 * DM^2 / 5) + 5 = 5 + 2√5 * DM + DM^2
7. Сокращая и упрощая, получаем:
8 * DM^2 = 10√5 * DM
8. Далее, мы можем выразить DM:
8 * DM = 10√5
DM = 5√5 / 4
9. Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ADC. Поскольку AD является основанием, высота треугольника можно выразить как DM:
S = (1/2) * AD * DM
S = (1/2) * √5 * (5√5 / 4)
S = 25 / 8
Таким образом, мы доказали, что DM перпендикулярно AC и площадь треугольника ADC равна 25/8.