Доказательство:
Дано, что треугольник АВС – равнобедренный с равными сторонами АВ и ВС.
Предположим, что BD – не перпендикулярно прямой (ABC). Пусть O – точка пересечения BD и (ABC).
Так как АВ = ВС, то точка O будет равноудалена от точек А и С.
Поскольку BD перпендикулярно AB и BC, то оно будет проходить через середину основания треугольника АВС, т.е. точку М – середину отрезка AC.
Таким образом, точка М будет являться центром окружности, описанной около треугольника АВС.
Теперь рассмотрим треугольник BDO. Он имеет две равные стороны: ОВ и ОД. Также, угол ОBD является прямым углом, так как BD перпендикулярно AB.
Исходя из этих фактов, треугольник BDO является равнобедренным.
Следовательно, угол BOD должен быть равным углу BDO.
Но угол BOD является внешним углом треугольника АВС на вершине О, а его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника.
Таким образом, получаем, что угол BOD равен сумме углов В и С, а значит треугольник АВС является прямоугольным в точке O.
Из этого следует, что BD перпендикулярно (ABC). Q.E.D.