Даны четыре точки А, В, С, D никакие три на них не лежат на одной прямой. На отрезке АС взяли произвольную точку К. Докажите , что ВК=DK.

Для доказательства того, что ВК = DK, воспользуемся свойством серединного перпендикуляра.

Шаги решения:
1. Обозначим середину отрезка АС как М.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку АС, проходящий через точку М.
3. Обозначим точку пересечения серединного перпендикуляра с отрезком ВК как Н.
4. Докажем, что Н – середина отрезка ВК.
5. Докажем, что Н – середина отрезка DK.
6. Заключение.

Доказательство:
1. Среднее арифметическое координат точек А и С можно найти по формуле М(хᵤₘ, уᵤₘ) = ((хₐ + хᵢₙᵢₜ)/(2), (уₐ + уᵢₙᵢₜ)/(2)).
2. Координаты середины точки М: М( ( + )/(2) , ( + )/(2) ).
3. Так как M – середина отрезка АС, то отрезок ВК равен отрезку DK, если Н – середина отрезка ВК.
4. Серединный перпендикуляр к отрезку АС является прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой АС.
5. Поскольку перпендикуляр к прямой ВК – это второй перпендикуляр к прямой АС, то он проходит через точку Н.
Значит, Н – середина отрезка ВК.
6. Аналогично, перпендикуляр к прямой DK – это перпендикуляр к прямой АС, который также проходит через точку М.
Значит, Н – середина отрезка DK.
7. Таким образом, ВК = DK, так как они равноудалены от серединного перпендикуляра к отрезку АС.

Таким образом, доказано, что ВК = DK.