Для доказательства того, что MNKP – квадрат, нам нужно убедиться, что все его стороны имеют одинаковую длину, а также что все углы равны 90 градусам.
1) Найдем длины сторон MN, NP, PK и KM, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
Длина стороны MN:
MN = sqrt((4 – (-2))2 + (-1 – 2)2) = sqrt(6^2 + (-3)^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45)
Длина стороны NP:
NP = sqrt((1 – 4)2 + (-7 – (-1))2) = sqrt((-3)^2 + (-6)^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45)
Длина стороны PK:
PK = sqrt((-5 – 1)2 + (4 – (-7))2) = sqrt((-6)^2 + 11^2) = sqrt(36 + 121) = sqrt(157)
Длина стороны KM:
KM = sqrt((-5 – (-2))2 + (4 – 2)2) = sqrt((-3)^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13)
2) Убедимся, что все длины сторон равны:
MN = NP = PK = KM = sqrt(45)
3) Теперь проверим, что все углы прямые углы. Для этого рассмотрим три отрезка, соединяющих соседние точки квадрата: MN, NK и KP.
Уравнение прямой проходящей через точки M и N:
M(x1, y1) = (-2, 2)
N(x2, y2) = (4, -1)
Наклон (угловой коэффициент) прямой: k = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-1 – 2) / (4 – (-2)) = -3/6 = -1/2
Уравнение прямой проходящей через точки N и K:
N(x1, y1) = (4, -1)
K(x2, y2) = (1, -7)
Наклон прямой: k = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-7 – (-1)) / (1 – 4) = -6/-3 = 2
Уравнение прямой проходящей через точки K и P:
K(x1, y1) = (1, -7)
P(x2, y2) = (-5, 4)
Наклон прямой: k = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (4 – (-7)) / (-5 – 1) = 11/-6 = -11/6
Все углы образованные этими прямыми являются прямыми углами, так как их угловой коэффициент равен 90 градусам.
Таким образом, мы доказали, что MNKP – квадрат.
4) Для нахождения длины диагонали квадрата воспользуемся теоремой Пифагора.
Длина диагонали DK:
DK = sqrt(MK^2 + DK^2) = sqrt(13^2 + 45^2) = sqrt(169 + 2025) = sqrt(2194)
Уравнение прямой, содержащей диагональ DK:
Мы можем взять две точки, лежащие на диагонали DK, например K и N, и найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.