На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Шаги решения:
1. Вычислим длину стороны АВ с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости: AB = √((x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2), где (x_1, y_1) = A(4, 1) и (x_2, y_2) = B(7, 5).
AB = √((7 – 4)^2 + (5 – 1)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
2. Найдем уравнение прямой AB и ее угловой коэффициент. Уравнение прямой задается в виде y = mx + b, где m – угловой коэффициент прямой, а b – свободный член.
Чтобы найти угловой коэффициент, используем формулу: m = (y_2 – y_1) / (x_2 – x_1), где (x_1, y_1) = A(4, 1) и (x_2, y_2) = B(7, 5).
m = (5 – 1) / (7 – 4) = 4 / 3.
Теперь заменим одну из точек в уравнении прямой для нахождения b. Рассмотрим точку A(4, 1):
1 = (4 / 3) * 4 + b
1 = 16 / 3 + b
b = 1 – 16 / 3
b = -13 / 3.
Таким образом, уравнение прямой AB: y = (4 / 3)x – (13 / 3), угловой коэффициент m = 4 / 3.
3. Найдем уравнение стороны ВС и ее угловой коэффициент. Повторим шаг 2, но будем использовать точки B(7, 5) и C(8, 3).
Угловой коэффициент прямой BC: m = (3 – 5) / (8 – 7) = -2.
Уравнение прямой BC: y = -2x + 19.
4. Найдем значение угла B в радианах. Угол между двумя прямыми можно найти с помощью формулы: tg(φ) = |(m_1 – m_2) / (1 + m_1 * m_2)|, где m_1 и m_2 – угловые коэффициенты прямых AB и BC.
tg(φ) = |(4 / 3 – (-2)) / (1 + 4 / 3 * (-2))| = |(10 / 3) / (1 – 8 / 3)| = |(10 / 3) / (3 / 3 – 8 / 3)| = |(10 / 3) / (-5 / 3)| = |10 / (-5)| = 2.
Зная значение tg(φ), можем найти φ, используя формулу arcctg(tg(φ)) = φ. Так как tg(φ) = 2, то φ = arcctg(2) ≈ 1.107 радиан.
5. Найдем уравнение медианы AE. Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения уравнения медианы AE найдем координаты точки E, которая является серединой стороны BC. Координаты точек B(7, 5) и C(8, 3).
Координаты точки E = ( (x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2 ) = ( (7 + 8) / 2, (5 + 3) / 2 ) = (15 / 2, 8 / 2) = (15 / 2, 4).
Чтобы найти уравнение медианы AE, используем формулу из шага 2, подставляя в нее координаты точек E(15 / 2, 4) и A(4, 1).
m_AE = (4 – 4) / (15 / 2 – 4) = 0 / (15 / 2 – 8 / 2) = 0 / (7 / 2) = 0.
Уравнение прямой AE: y = 0x + b, где b – свободный член. Подставляем координаты точки A(4, 1) и получаем b = 1.
Таким образом, уравнение медианы AE: y = 1.
6. Найдем уравнение и длину высоты СД. Высота – это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне так, что он перпендикулярен этой стороне.
Чтобы найти уравнение высоты СД, найдем угловой коэффициент прямой CD и используем формулу из шага 2, где точки C(8, 3) и D.
m_CD = (3 – 3) / (8 – 8) = 0 / 0.
Так как угловой коэффициент равен 0 / 0, то прямая CD является вертикальной и имеет вид x = 8.
Длина высоты СД равна расстоянию между точкой C(8, 3) и прямой CD, которое можно вычислить с помощью формулы из шага 1.
СD = √((x – 8)^2 + (y – 3)^2).
Подставляем уравнение прямой CD, где x = 8, и находим значение y: CD = √((8 – 8)^2 + (y – 3)^2) = √(y – 3)^2 = |y – 3|.
Таким образом, длина высоты СД равна |y – 3|.
7. Найдем уравнение окружности, для которой высота СД является диаметром. Окружность с диаметром СD имеет центр в середине отрезка СД и радиус, равный половине длины СD.
Центр окружности – это точка с координатами ((x_1 + x_2) / 2, (y_1 + y_2) / 2), где (x_1, y_1) и (x_2, y_2) – координаты концов диаметра.
Координаты центра окружности = ( (8 + 8) / 2, (3 + y) / 2 ) = (8, (3 + y) / 2).
Радиус окружности равен половине длины СD: r = |y – 3| / 2.
Таким образом, уравнение окружности: (x – 8)^2 + ((y – 3) / 2)^2 = ((y – 3) / 2)^2.
8. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку E(15 / 2, 4) параллельно стороне AB, и точку ее пересечения с высотой СД.
Уравнение прямой AB: y = (4 / 3)x – (13 / 3). Угловой коэффициент прямой AB равен 4 / 3.
Уравнение прямой, проходящей через точку E(15 / 2, 4) и параллельной AB: y – 4 = (4 / 3)(x – 15 / 2).
Уравнение прямой: y = (4 / 3)x – 25 / 6.
Чтобы найти точку пересечения прямой с высотой СД, решим систему уравнений: y = (4 / 3)x – 25 / 6 и x = 8 (уравнение прямой CD).
Подставляем значение x = 8 в первое уравнение: y = (4 / 3) * 8 – 25 / 6 = 32 / 3 – 25 / 6 = (64 – 25) / 6 = 39 / 6 = 6.5.
Таким образом, точка пересечения прямой с высотой СД – (8, 6.5).
9. Система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Угловые коэффициенты прямых AB, BC и CD не равны 0 (так как это была вертикальная прямая), поэтому треугольник АВС существует.
Линейные неравенства для сторон треугольника:
AB + BC > AC: 5 + √((x_3 – x_1)^2 + (y_3 – y_1)^2) > √((x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2),
AB + AC > BC: 5 + √((x_2 – x_3)^2 + (y_2 – y_3)^2) > √((x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2),
AC + BC > AB: √((x_2 – x_3)^2 + (y_2 – y_3)^2) + √((x_3 – x_1)^2 + (y_3 – y_1)^2) > √((x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2).
Подставляем значения координат точек: 5 + √((8 – 4)^2 + (3 – 1)^2) > √((7 – 4)^2 + (5 – 1)^2), 5 + √((7 – 8)^2 + (5 – 3)^2) > √((7 – 4)^2 + (5 – 1)^2), √((7 – 8)^2 + (5 – 3)^2) + √((8 – 4)^2 + (3 – 1)^2) > √((7 – 4)^2 + (5 – 1)^2).
5 + √(4^2 + 2^2) > √(3^2 + 4^2),
5 + √((-1)^2 + 2^2) > √(3^2 + 4^2),
√1^2 + 2^2 + √4^2 + (-2)^2 > √3^2 + 4^2.
5 + √5 > √9 + 16,
5 + √5 > √25,
5 + √5 > 5.
Это верное неравенство, поэтому треугольник АВС существует.
