Даны точки A(2,-1,1), B(-2,2,5), C(3,2,1), D(1,2,-1). Найти:1)величину внутреннего угла при вершине AB в треугольнике ABC 2)площадь треугольника ABC 3) длину высоты AH в треугольнике ABC 4)Объем тетраэдра DABC

1) Чтобы найти величину внутреннего угла при вершине AB в треугольнике ABC, нужно вычислить косинус этого угла, используя формулу косинусов.
Для этого, найдем длины сторон треугольника ABC:
AB = √((x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2) = √((-2 – 2)^2 + (2 – (-1))^2 + (5 – 1)^2) = √(16 + 9 + 16) = √41
AC = √((x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2 + (z_C – z_A)^2) = √((3 – 2)^2 + (2 – (-1))^2 + (1 – 1)^2) = √(1 + 9 + 0) = √10
BC = √((x_C – x_B)^2 + (y_C – y_B)^2 + (z_C – z_B)^2) = √((3 – (-2))^2 + (2 – 2)^2 + (1 – 5)^2) = √(25 + 0 + 16) = √41
Теперь, можем вычислить косинус угла A в треугольнике ABC, используя формулу косинусов:
cos(A) = (AB^2 + AC^2 – BC^2) / (2 * AB * AC) = (41 + 10 – 41) / (2 * √41 * √10) = 10 / (2 * √410) = 5 / √410 ≈ 0.7781
После этого, найдем сам угол A в радианах, используя обратный косинус:
A = arccos(0.7781) ≈ 0.6923 радиан
Чтобы получить угол в градусах, нужно умножить радианы на 180 и разделить на π:
A_degrees = 0.6923 * 180 / π ≈ 39.7 градусов

2) Чтобы найти площадь треугольника ABC, можно использовать формулу Герона:
S = √(p * (p – AB) * (p – AC) * (p – BC)),
где p – полупериметр треугольника ABC, который можно вычислить как:
p = (AB + AC + BC) / 2

p = (√41 + √10 + √41) / 2 = (2√41 + √10) / 2 = (√410 + √10) / 2
S = √((√410 + √10) / 2 * ((√410 + √10) / 2 – √41) * ((√410 + √10) / 2 – √10) * ((√410 + √10) / 2 – √41)) ≈ 5.68

3) Чтобы найти длину высоты AH в треугольнике ABC, воспользуемся формулой для высоты, опущенной из вершины треугольника на сторону:
AH = (2 * S) / AB,
где S – площадь треугольника ABC, как было найдено ранее.

AH = (2 * 5.68) / √41 ≈ 2.75

4) Чтобы найти объем тетраэдра DABC, мы можем воспользоваться формулой для объема:
V = (1/6) * |((x_A – x_D) * ((y_B – y_D) * (z_C – z_D) – (z_B – z_D) * (y_C – y_D)) + (y_A – y_D) * ((z_B – z_D) * (x_C – x_D) – (x_B – x_D) * (z_C – z_D)) + (z_A – z_D) * ((x_B – x_D) * (y_C – y_D) – (y_B – y_D) * (x_C – x_D)))|
где |x| – это модуль числа x.

V = (1/6) * |((2 – 1) * ((2 – 2) * (1 + 1) – (5 – 1) * (2 + 1)) + (-1 – 1) * ((5 – 1) * (3 + 1) – (-2 – 1) * (1 + 1)) + (1 – (-1)) * ((-2 – 1) * (3 + 1) – (2 – 1) * (1 + 1)))| / 2
V = (1/6) * |((1) * ((0) * (2) – (4) * (3)) + (-2) * ((4) * (4) – (-3) * (2)) + (2) * ((-3) * (4) – (1) * (2)))| / 2
V = (1/6) * |(0 + (-2) * (16 – (-6)) + 2 * (-12 – 2))| / 2
V = (1/6) * |(0 + (-2) * 22 + 2 * (-14))| / 2
V = (1/6) * |(0 + (-44) + (-28))| / 2
V = (1/6) * |(-72)| / 2
V = (1/6) * 72 / 2
V = (1/6) * 36
V = 6.

Таким образом, величина внутреннего угла при вершине AB в треугольнике ABC равна примерно 39.7 градусов, площадь треугольника ABC составляет примерно 5.68, длина высоты AH равна примерно 2.75, и объем тетраэдра DABC равен 6.