На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для того чтобы показать, что треугольник прямоугольный, нам необходимо проверить, что квадраты длин его сторон соответствуют теореме Пифагора.
Шаги решения:
1. Найдем длины сторон треугольника. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в плоскости: d = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2).
– Длина стороны AB: dAB = √((-5 – (-1))^2 + (-2 – 6)^2) = √((-4)^2 + (-8)^2) = √(16 + 64) = √80 = 4√5
– Длина стороны BC: dBC = √((1 – (-5))^2 + (0 – (-2))^2) = √((6)^2 + (2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10
– Длина стороны CA: dCA = √((1 – (-1))^2 + (0 – 6)^2) = √((2)^2 + (-6)^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10
2. Проверим, соответствуют ли квадраты длин сторон теореме Пифагора.
– Анализируя квадраты длин сторон, видим, что (4√5)^2 + (2√10)^2 = (16 + 40) + (8 + 40) = 56 + 48 = 104 + 48 = 152.
– С квадратом длины стороны CA (2√10)^2 = (4 + 36) = 40.
3. Из вычислений видно, что (4√5)^2 + (2√10)^2 = (2√10)^2 + (2√10)^2 + (2√10)^2 (по теореме Пифагора).
Это значит, что квадрат длины стороны AB равен сумме квадратов длин сторон BC и СA.
Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.
4. Центр описанной около треугольника ABC окружности – это точка пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон треугольника.
Найдем середины сторон треугольника:
– Середина стороны AB: MAB = ((-1 + (-5)) / 2, (6 + (-2)) / 2) = (-6 / 2, 4 / 2) = (-3, 2)
– Середина стороны BC: MBC = ((-5 + 1) / 2, (-2 + 0) / 2) = (-4 / 2, -2 / 2) = (-2, -1)
– Середина стороны CA: MCA = ((1 + (-1)) / 2, (0 + 6) / 2) = (0 / 2, 6 / 2) = (0, 3)
Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через середину стороны AB и перпендикулярной стороне AB.
Уравнение прямой, параллельной AB, имеет вид: y – y1 = (x – x1) * k,
где (x1, y1) – координаты точки MAB
Уравнение прямой, перпендикулярной AB, имеет вид: y – y1 = -(1 / k) * (x – x1),
где k – наклон прямой AB (k = (6 – (-2)) / (-1 – (-5)) = 8 / 4 = 2).
Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через MAB, имеет вид: y – 2 = (-1 / 2)(x + 3).
Аналогично, уравнения прямых, перпендикулярных BC и CA и проходящих через их середины, имеют вид:
– Уравнение прямой, перпендикулярной BC и проходящей через MBC: y + 1 = 2(x + 2)
– Уравнение прямой, перпендикулярной CA и проходящей через MCA: y – 3 = (-1 / 2)(x – 0)
5. Решая систему уравнений, находим точку пересечения этих прямых: A'(0, 2).
6. Центр описанной около треугольника ABC окружности – это точка A’ (0, 2), а радиус окружности – расстояние от центра до любой вершины треугольника.
Рассчитаем радиус окружности, используя расстояние от A(0, 2) до любой вершины треугольника.
– Радиус окружности: dA’B = √((0 – (-1))^2 + (2 – 6)^2) = √(1^2 + (-4)^2) = √(1 + 16) = √17
Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, его описанная окружность имеет центр в точке A’ (0, 2) и радиус равен √17.
