Для решения задачи можно воспользоваться формулой для площади полной поверхности правильной пирамиды:
S = S_осн. + S_бок,
где S – площадь полной поверхности пирамиды,
S_осн. – площадь основания пирамиды,
S_бок – площадь боковой поверхности пирамиды.
Сначала найдем площадь основания пирамиды. Для правильной пирамиды с квадратным основанием площадь основания равна:
S_осн. = a^2,
где a – длина стороны квадрата.
Мы знаем, что диагональ основания равна 8 см. Для квадрата формула для длины диагонали принимает вид:
d = a * sqrt(2),
где d – длина диагонали, a – длина стороны квадрата.
Подставим в эту формулу известные значения:
8 = a * sqrt(2)
Разделим обе части уравнения на sqrt(2):
8 / sqrt(2) = a.
Таким образом, получаем, что длина стороны квадрата равна:
a ≈ 5.66 см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для правильной пирамиды с квадратным основанием площадь боковой поверхности равна:
S_бок = 4 * (a * h) / 2,
где h – высота пирамиды.
Нам дан угол между плоскостями боковой грани и основания, который равен 45 градусов. Это означает, что треугольник, образованный высотой пирамиды и половиной диагонали основания, является прямоугольным треугольником. Тогда высоту пирамиды можно найти, используя тригонометрическую функцию тангенс:
tan(45) = h / (a/2),
h = (a/2) * tan(45).
Подставим известные значения:
h ≈ (5.66/2) * 1 ≈ 2.83 см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
S_бок = 4 * (5.66 * 2.83) / 2 ≈ 31.97 см^2.
Осталось найти площадь полной поверхности, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:
S = 5.66^2 + 31.97 ≈ 65.25 см^2.
Итак, площадь полной поверхности равна примерно 65.25 квадратных сантиметров.