Пусть в данной трапеции AB | | CD основания AB и CD, диагональ AC и точка пересечения диагоналей E.
Обозначим угол BAE как α, а угол EAD как β.
Из условия задачи известно, что α = 30° и β = -45°.
Так как AC – диагональ равнобедренной трапеции, то угол BAC также равен α, а угол BCA равен β.
Из суммы углов треугольника ABC получаем, что угол ABC = 180° – α – β = 180° – 30° – (-45°) = 195°.
Таким образом, треугольник ABC – неравнобедренный, и его нельзя рассматривать как подобный равнобедренному треугольнику.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике AEC:
AC sin(beta) AE
— = ——— => —
AE sin(alpha) AC
AE х AC
——- = ——–
sin(alpha) sin(beta)
AE х AC = sin(alpha) х AC х sin(beta)
Проведем высоту BH, где H – середина AC. Тогда прямоугольный треугольник ABH является половиной равнобедренной трапеции.
Тогда sin(alpha) = BH / AB, а sin(beta) = BH / AD.
Подставим эти значения в уравнение:
AE х AC = BH / AB х AB х AD / AD = BH х AD
Так как H – середина AC, то BH = AD / 2.
Тогда AE х AC = AD х AD / 2.
Пусть BC = a и AD = b. Тогда AB = BC + 2 х AE = a + 2 х b.
Используя теорему Пифагора в треугольнике AED, получаем:
AE х AE + AD х AD = ED х ED.
Так как AE х AE = 2 х AC х AC / 4 = 2 х (a + b) х (a + b) / 4, то:
2 х (a + b) х (a + b) + b х b = ED х ED.
ED = √(2 х (a + b) х (a + b) + b х b).
Подставив полученное значение ED в уравнение AE х AC = AD х AD / 2, получаем:
√(2 х (a + b) х (a + b) + b х b) х a = b х b / 2.
Выразим отношение меньшего основания трапеции к большему основанию:
a / (a + b) = b х b / (2 х √(2 х (a + b) х (a + b) + b х b)).
Таким образом, получаем искомое отношение меньшего основания трапеции к большему основанию.