1. Для решения задачи воспользуемся свойством прямоугольной трапеции, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов оснований: AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2.
2. Дано, что диагонали взаимно перпендикулярны. Значит, AC и BD – это высоты прямоугольного треугольника ABC и BCD соответственно.
3. По теореме Пифагора: AC^2 = AB^2 – BC^2 и BD^2 = AD^2 – BC^2.
4. Подставляем известные значения: AC^2 = 8^2 – BC^2 и BD^2 = 15^2 – BC^2.
5. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2, что равносильно уравнению (8^2 – BC^2) + (15^2 – BC^2) = AB^2 + CD^2.
6. Упрощаем уравнение: 64 – BC^2 + 225 – BC^2 = AB^2 + CD^2.
7. Складываем члены с BC^2 и переносим остальные члены вправо: 289 = 2BC^2 + AB^2 + CD^2.
8. Для нахождения BC^2 подставляем известные значения: 289 = 2BC^2 + 8^2 + CD^2 (обозначим CD^2 как СD^2).
9. Сокращаем: 289 = 2BC^2 + 64 + CD^2.
10. 2BC^2 + CD^2 = 289 – 64.
11. 2BC^2 + CD^2 = 225.
12. Замечаем, что 2BC^2 + СD^2 = 15^2 + 8^2 = 225.
13. Получаем уравнение 2BC^2 + СD^2 = 2BC^2 + CD^2.
14. Значит, CD^2 = СD^2.
15. Принимаем, что 2BC^2 = 0.
16. Получаем BC^2 = 0, что значит BC = 0.
17. Ответ: короткое основание BC равно 0 см.
18. Диагонали прямоугольной трапеции пересекаются в точке О. Поскольку они взаимно перпендикулярны, то точку О можно считать центром симметрии трапеции.
19. Точка О делит диагонали AC и BD пополам.
20. Длина отрезка АО равна половине длины диагонали AC, то есть АО = AC/2.
21. Длина отрезка ВО равна половине длины диагонали BD, то есть ВО = BD/2.
22. Подставляем значения: АО = AC/2 = 8/2 = 4 см и ВО = BD/2 = 15/2 = 7.5 см.
23. Ответ: длина отрезка АО равна 4 см, длина отрезка ВО равна 7.5 см.
