Диагонали трапеции ABCD (AB‖CD) пересекаются в точке O. Вычислить площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника AOB равна 36, а площадь треугольника COD равна 81.

Пусть основаниями трапеции ABCD являются отрезки AB и CD, а диагонали пересекаются в точке O. Обозначим через h высоту трапеции, проведенную из вершины A.

Заметим, что треугольники AOB и COD подобны, так как у них углы AOB и COD являются соответственными.

Изометричность оснований трапеции подразумевает, что треугольники AOB и DCO также подобны.

Если отношение подобия треугольников AOB и COD равно k, тогда отношение их площадей равно k^2.
По условию, площадь треугольника AOB равна 36, а площадь треугольника COD равна 81.
А значит, k^2 = 81/36 = 9/4.

Так как треугольники AOB и DCO подобны с коэффициентом k, то стороны этих треугольников соотносятся как AO/DO = BO/CO = AB/CD = √(9/4) = 3/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC. По теореме Пифагора, OD^2 = OC^2 + CD^2 = (3/2*h)^2 + h^2 = 9/4 * h^2 + h^2 = 5/4 * h^2.
Отсюда, h^2 = 4/5 * OD^2.

Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB и COD:
S = (1/2 * AB * h) + (1/2 * CD * h) = 1/2 * h (AB + CD).

Так как AB = CD + 2 * OD, получим:
S = 1/2 * h (CD + 2 * OD + CD) = h (CD + OD).

Так как OD = 3/2 * h, то:
S = h (CD + 3/2 * h) = CD * h + 3/2 * h^2.

Используя ранее полученное выражение для h^2 и зная, что CD = 2 * OD, получим:
S = CD * h + 3/2 * h^2 = 2 * OD * h + 3/2 * 4/5 * OD^2 = 2 * OD * h + 6/5 * OD^2 = OD * (2 * h + 6/5 * OD).

Таким образом, чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо знать только значения OD и h. OD равно 3/2 * h, поэтому достаточно знать значение h.

Окончательная формула для вычисления площади трапеции ABCD:
S = h (CD + 3/2 * h) = h (2 * OD + 3/2 * h) = OD * (2 * h + 6/5 * OD).