Требуется доказать утверждение о равенстве интервалов [a,b), [cd), (a,b], (c,d].
1. Вначале докажем, что [a,b) = [cd). По определению интервала [a,b), все числа в этом интервале больше или равны а и меньше b. Также, по определению, все числа в интервале [cd) больше или равны cd и меньше d. Заметим, что если a < cd, то a также меньше cd, иначе интервалы были бы несовпадающими. Аналогично, если b > cd, то b также больше cd. Таким образом, [a,b) содержит все числа из интервала [cd) и не содержит никаких других чисел. Обратное включение ([cd) содержит все числа из [a,b)) можно доказать аналогично. Таким образом, [a,b) = [cd).
2. Далее докажем, что (a,b] = (c,d]. По определению интервала (a,b], все числа в этом интервале больше a и меньше или равны b. Аналогично, по определению интервала (c,d], все числа в нем больше c и меньше или равны d. Заметим, что если b < d, то b также меньше d, иначе интервалы были бы несовпадающими. Аналогично, если a > c, то a также больше c. Таким образом, (a,b] содержит все числа из интервала (c,d] и не содержит никаких других чисел. Обратное включение ((c,d] содержит все числа из (a,b]) можно доказать аналогично. Таким образом, (a,b] = (c,d].
В результате получаем, что [a,b) = [cd) = (a,b] = (c,d].