Для решения этой задачи воспользуемся формулой косинуса между двумя плоскостями:
cosθ = |n1·n2| / (|n1|⋅|n2|),
где n1 и n2 – нормали к плоскостям, |n1| и |n2| – их длины.
1. Найдём нормаль n1 к плоскости BCD1. Для этого возьмём векторное произведение двух векторов, лежащих на этой плоскости, например BA и BC.
BA = AB1 – AB = (-3) – (-4) = 1,
BC = BC1 – BA1 = 0 – 3 = -3.
Итак, BA = 1, BC = -3.
Теперь найдём их векторное произведение: n1 = BA × BC = (1i + 0j – 3k) × (1i + 0j – 3k) = -3i + 3k.
2. Найдём нормаль n2 к плоскости ADC1. Для этого возьмём векторное произведение двух векторов, лежащих на этой плоскости, например AD и AC.
AD = AD1 – AB1 = 3 – 0 = 3,
AC = AA1 + AC1 = 3 + 0 = 3.
Итак, AD = 3, AC = 3.
Теперь найдём их векторное произведение: n2 = AD × AC = (3i + 0j + 0k) × (3i + 0j + 3k) = 9j – 9k.
3. Найдём длины нормалей |n1| и |n2|:
|n1| = √((-3)^2 + 0^2 + 3^2) = √(18) = 3√2,
|n2| = √(0^2 + 9^2 + (-9)^2) = √(162) = 3√(2⋅9) = 9.
4. Подставим найденные значения в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями:
cosθ = |n1·n2| / (|n1|⋅|n2|) = |(-27)| / (3√2 ⋅ 9) = 27 / (9⋅3√2) = 1 / √2 = √2 / 2.
Таким образом, косинус угла между плоскостями BCD1 и ADC1 равен √2 / 2.