На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов и определением синуса угла между векторами.
а) Чтобы найти синус угла между плоскостью ACD и прямой DB, нам нужно найти векторное произведение векторов, параллельных этим объектам. Вектор, параллельный прямой DB, можно получить, вычесть из вектора B координаты вектора D. Таким образом:
DB = B – D = (3, 0, 0) – (2, 0, 0) = (1, 0, 0).
Теперь нам нужно найти вектор, параллельный плоскости ACD. Вектор ACD можно получить, вычесть из вектора D координаты вектора A и координаты вектора C. Таким образом:
ACD = D – A – C = (2, 0, 0) – (1, 0, 0) – (0, 0, 1) = (1, 0, -1).
Используя свойство скалярного произведения векторов, мы можем найти синус угла между прямой DB и плоскостью ACD по формуле:
sin(θ) = |(DB × ACD)| / (|DB| ⋅ |ACD|),
где × обозначает векторное произведение, |DB| и |ACD| – длины векторов DB и ACD соответственно.
Рассчитаем значения: |DB| = √(1² + 0² + 0²) = √1 = 1,
|ACD| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2,
DB × ACD = determinant([[1, 0, 0], [1, 0, -1], [0, 0, 1]]) = 0 – 0 – 0 – 0 – 1 + 0 = -1.
Теперь можем рассчитать синус угла между плоскостью ACD и прямой DB:
sin(θ) = |-1| / (1 ⋅ √2) = 1 / √2 = √2 / 2.
Ответ: синус угла между плоскостью ACD и прямой DB равен √2 / 2.
б) Чтобы найти синус угла между плоскостью ACD и прямой DA₁, мы поступаем аналогично: находим вектор DB, параллельный прямой DA₁, и вычисляем синус угла между векторами DB и ACD.
DB = B – D = (3, 0, 0) – (2, 0, 0) = (1, 0, 0).
ACD = D – A – C = (2, 0, 0) – (1, 0, 0) – (0, 0, 1) = (1, 0, -1).
|DB| = 1,
|ACD| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2,
DB × ACD = 0 – 0 – 0 – 0 – 1 + 0 = -1.
sin(θ) = |-1| / (1 ⋅ √2) = 1 / √2 = √2 / 2.
Ответ: синус угла между плоскостью ACD и прямой DA₁ равен √2 / 2.
в) Теперь найдем синус угла между плоскостью ACD и прямой DC.
DC = C – D = (0, 0, 1) – (2, 0, 0) = (-2, 0, 1).
ACD = D – A – C = (2, 0, 0) – (1, 0, 0) – (0, 0, 1) = (1, 0, -1).
|DC| = √((-2)² + 0² + 1²) = √5,
|ACD| = √(1² + 0² + (-1)²) = √2,
DC × ACD = determinant([[-2, 0, 1], [1, 0, -1], [0, 0, 1]]) = 0 – 1 + 0 – 0 – 1 + 0 = -2.
sin(θ) = |-2| / (√5 ⋅ √2) = 2 / (√10) = 2√10 / 10.
Ответ: синус угла между плоскостью ACD и прямой DC равен 2√10 / 10.
