Доказать, что биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне тра- пеции, пересекаются под прямым углом и точка их пересечения лежит на сред- ней линии трапеции.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD – параллельные основания, а AD и BC – боковые стороны. Пусть точка E – точка пересечения биссектрисы угла B и стороны AD, а точка F – точка пересечения биссектрисы угла C и стороны BC. Нам нужно доказать, что AB и CD пересекаются под прямым углом в точке O, которая является пересечением биссектрис.

1. Докажем, что угол BEO равен углу CFO. Для этого заметим, что:
– угол BEO равен половине угла B, так как E – точка пересечения биссектрисы угла B;
– угол CFO также равен половине угла C, так как F – точка пересечения биссектрисы угла C.

2. Так как угол B равен углу C (по условию трапеции), то угол BEO равен углу CFO. Таким образом, углы BEO и CFO – равные углы.

3. Из равенства углов BEO и CFO следует, что треугольники BEO и CFO подобны. Из этой подобности следует, что отношение длин расстояний от точек E и O до стороны AD равно отношению длин расстояний от точек F и O до стороны BC.

4. Так как точки E и F лежат на сторонах AD и BC соответственно, а их отношение к точке O одинаково, то точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EF.

5. Серединный перпендикуляр к отрезку EF является средней линией трапеции, так как EF является диагональю трапеции.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом и точка их пересечения лежит на средней линии трапеции.