На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для начала рассмотрим, что такое гиперболическое проективное преобразование. Это преобразование, которое переводит проективную прямую на себя с сохранением свойства, называемого гиперболичностью. Гиперболическое проективное преобразование может быть представлено матрицей 2×2 с вещественными элементами.
Пусть у нас имеются два гиперболических проективных преобразования, заданные матрицами A и B. Предположим, что эти два преобразования имеют общие инвариантные точки, то есть точки, которые остаются на месте при применении обоих преобразований.
Обозначим общие инвариантные точки через x. Тогда можем записать следующее уравнение:
Ax = x
Bx = x
Мы хотим показать, что композиция этих двух преобразований также имеет общие инвариантные точки, то есть:
(AB)x = x
Для доказательства этого сначала докажем вспомогательное утверждение: если матрица A гиперболического преобразования имеет вещественные собственные значения, то ее обратная матрица A^-1 также имеет вещественные собственные значения.
Теперь приступаем к доказательству основного утверждения. Рассмотрим матрицу композиции двух преобразований AB:
(AB)x = A(Bx)
Заметим, что внутреннее произведение Bx является общей инвариантной точкой для преобразования B. Таким образом, мы можем записать:
(AB)x = A(x) = Ax = x
То есть (AB)x = x, что и требовалось доказать.
Вывод: композиция двух гиперболических проективных преобразований прямой с общими инвариантными точками перестановочна.
