Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нам нужно проверить следующие условия:
1) Все стороны четырёхугольника должны быть равными.
2) Диагонали должны быть равными и пересекаться в прямом углу.
3) Все углы должны быть прямыми.
Давайте проверим эти условия.
Условие 1: Проверим, что стороны AB, BC, CD и DA равны.
AB = √[(20-16)^2 + (5-1)^2] = √(4^2 + 4^2) = √32 = 4√2
BC = √[(16-20)^2 + (9-5)^2] = √((-4)^2 + 4^2) = √32 = 4√2
CD = √[(12-16)^2 + (5-9)^2] = √((-4)^2 + (-4)^2) = √32 = 4√2
DA = √[(12-16)^2 + (5-1)^2] = √((-4)^2 + 4^2) = √32 = 4√2
Условие 1 выполняется, так как все стороны равны 4√2.
Условие 2: Проверим, что диагонали AC и BD равны и пересекаются в прямом углу.
AC = √[(16-16)^2 + (9-1)^2] = √(0^2 + 8^2) = 8
BD = √[(20-12)^2 + (5-5)^2] = √(8^2 + 0^2) = 8
Диагонали AC и BD равны 8 и пересекаются в прямом углу.
Условие 2 выполняется.
Условие 3: Проверим, что все углы прямые.
Угол B = 90° (по условию)
Угол A: Мы знаем, что угол A и угол C являются диагональными углами, поэтому если угол B равен 90°, то и углы A и C также равны 90°.
Угол D: Угол D является диагональным углом и поэтому равен 90°.
Условие 3 выполняется, так как все углы четырёхугольника ABCD равны прямым углам.
Так как все условия выполняются, мы можем сделать заключение, что четырёхугольник ABCD является квадратом.
Теперь найдем площадь квадрата:
Сторона квадрата AB = 4√2, поэтому его площадь равна:
Площадь = (4√2)^2 = 16 * 2 = 32
Площадь квадрата ABCD равна 32.