Пусть у нас есть параллелограм с диагоналями AC и BD. По условию, диагонали перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD.
Давайте рассмотрим треугольник ABC. Так как параллелограм, то сторона AB параллельна стороне CD (параллельность противоположных сторон). Теперь, так как диагонали перпендикулярны, сторона AB также перпендикулярна стороне AC. Таким образом, в треугольнике ABC имеем два перпендикулярных из условия стороны и третью общую сторону.
Теперь вспомним, что в прямоугольном треугольнике, в котором один из углов прямой, выполняется теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC, получаем:
AB² + BC² = AC²
Теперь рассмотрим треугольник ABD. По аналогии имеем:
AB² + BD² = AD²
Объединяя эти два уравнения, получаем:
AB² + BC² = AD² + BD²
Теперь вспомним, что диагонали AC и BD равны между собой: AC = BD. Заменим BD на AC в выражении:
AB² + BC² = AD² + AC²
Теперь заметим, что AD² + AC² равно квадрату диагонали AC (по теореме Пифагора для треугольника ACD).
Таким образом, получаем:
AB² + BC² = AC²
Это означает, что в параллелограме все стороны равны (AB = BC = AC). Также, из свойств параллелограма следует, что противоположные стороны параллельны.
Таким образом, мы доказали, что если диагонали параллелограма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.