Сначала заметим, что сечение содержит две пары равных отрезков: AB и A1C1, а также BC и A1D1.
Для начала, докажем, что AB и A1C1 равны.
Рассмотрим треугольник ABA1. Он правильный, так как его стороны AB и A1B равны (они являются сторонами прямоугольника A1B1C1D1).
Также сторона AB параллельна плоскости BCD и поэтому перпендикулярна отрезку A1M (так как BM – это диагональ прямоугольника A1B1C1D1, а M является ее серединной точкой).
Таким образом, у треугольника ABA1 два угла при основании AB прямые.
Отсюда следует, что треугольник ABA1 является равнобедренным, то есть его стороны AB и A1B равны, что означает, что AB = A1B.
Аналогично можно доказать, что BC = A1D1.
Таким образом, каждая из пар равных отрезков (AB, A1C1) и (BC, A1D1) образуют острый угол.
Осталось доказать, что отрезок A1C1 параллелен отрезку AB.
Рассмотрим параллелограмм ABDC. Поскольку AB || DC и AD || BC, параллелограмм ABDC – это прямоугольник, а значит у него стороны AD и BC равны.
A1D1 в параллелограмме ABDC является диагональю и проходит через его середину, поэтому A1D1 делит параллелограмм на две равные части. Значит, отрезок A1C1 параллелен AB.
Итак, сечение правильного прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проведенное через B,D и серединную точку M ребра A1D1, является равнобедренной трапецией.