1) Для доказательства, что треугольник ABC равнобедренный, если медиана BD является высотой, мы можем использовать свойства медиан треугольника.
Пусть треугольник ABC имеет медиану BD, которая также является высотой. Мы знаем, что медиана делит сторону треугольника пополам. Таким образом, AB = BD и BC = BD.
Если AB = BD, то у треугольника ABC две равные стороны и угол, прилежащий к этим сторонам, также равен. Аналогично, если BC = BD, то другой угол треугольника, прилежащий к равным сторонам, также равен.
Таким образом, у треугольника ABC две равные стороны и два равных угла, что говорит о том, что треугольник равнобедренный.
2) Для доказательства, что треугольник ABC равнобедренный, если высота BD является биссектрисой, мы также можем использовать свойства биссектрис треугольника.
Пусть треугольник ABC имеет высоту BD, которая также является биссектрисой. Мы знаем, что биссектриса делит противолежащий угол на два равных угла. Таким образом, угол ABD = угол CBD.
Также, так как BD является высотой, то AB и BC перпендикулярны BD.
Из угловой суммы треугольника ABC известно, что A + B + C = 180 градусов. Поскольку углы ABD и CBD равны, мы можем заменить их соответствующими значениями и получим A + 2*ABD + C = 180 градусов.
Так как AB и BC перпендикулярны BD, угол ABD + угол CBD = 90 градусов. Заменяя это значение в нашем уравнении, мы получаем A + 2*90 + C = 180 градусов. Значит, A + C = 0 градусов, что означает, что углы A и C равны нулю градусов.
Таким образом, у треугольника ABC два равных угла и две равные стороны, что говорит о том, что треугольник равнобедренный.
3) Для доказательства, что треугольник ABC равнобедренный, если биссектриса BD является медианой, мы также можем использовать свойства биссектрис треугольника.
Пусть треугольник ABC имеет биссектрису BD, которая также является медианой. Мы знаем, что медиана делит сторону треугольника пополам. Таким образом, AB = BD и BC = BD.
Также, так как BD является биссектрисой, она делит противолежащий угол на два равных угла. Давайте обозначим эти углы как ABD и CBD.
Из угловой суммы треугольника ABC известно, что A + B + C = 180 градусов. Поскольку ABD и CBD равны, мы можем заменить их соответствующими значениями и получим A + 2*ABD + C = 180 градусов.
У нас уже есть AB = BD и BC = BD, также известно, что угол ABD и CBD — равны.
Таким образом, у треугольника ABC две равные стороны и два равных угла, что говорит о том, что треугольник равнобедренный.