На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть ABCDA1B1C1D1 – симметричный параллелепипед относительно плоскости ACC1. Докажем, что основания ABCD и A1B1C1D1 являются квадратами.
Для начала заметим, что симметрия относительно плоскости АСС1 означает, что прямая, соединяющая центры двух противоположных ребер параллелепипеда, проходит через точку пересечения стороны ABCD с плоскостью ACC1. Также, эта прямая в точности совпадает с высотой параллелепипеда, опущенной на основание A1B1C1D1. Предположим, что основание ABCD не является квадратом и обозначим стороны этого основания как a и b.
Так как основание ABCD не является квадратом, то a и b не равны. Рассмотрим высоту, опущенную из вершины A1 на основание ABCD. Обозначим ее как h. Так как прямой A1A можно сопоставить только одну высоту h, то высота A1A также будет проходить через точку пересечения стороны A1B1C1D1 с плоскостью ACC1, то есть через точку пересечения высоты, опущенной из вершины A1, и основания A1B1C1D1.
Однако, по определению квадрата, любая высота, опущенная из вершины, делит основание пополам. Также, высота A1A должна делить плоскость ACC1 пополам. Получаем, что основание A1B1C1D1, которое делилось высотой A1A пополам, также делится высотой A1A пополам. Но такого разделения не может быть, так как основание A1B1C1D1 не является квадратом.
Таким образом, мы пришли к противоречию – предположение о том, что основание ABCD не является квадратом, неверно. Значит, основания ABCD и A1B1C1D1 являются квадратами.
