Пусть дан прямоугольник со сторонами a и b, и в него можно вписать окружность радиусом r. Нам нужно доказать, что если это так, то a = b, т.е. это квадрат.
Шаги решения:
1) Предположим, что прямоугольник не является квадратом, то есть a ≠ b.
2) Рассмотрим два случая:
– Пусть a > b. Из этого следует, что диаметр окружности (d) не превышает b. Так как окружность вписана в прямоугольник, она должна быть такой, что ее диаметр не больше самой короткой стороны прямоугольника. Но по условию d = 2r ≤ b, т.е. прямоугольник невозможно охватить окружностью радиусом r. Противоречие с предположением.
– Пусть b > a. Аналогично предыдущему случаю, диаметр окружности не может превышать a. Но так как по условию d ≤ a, то прямоугольник невозможно охватить окружностью радиусом r. Противоречие с предположением.
3) Из обоих случаев следует, что предположение о неквадратности прямоугольника неверно, следовательно, оно является квадратом.
Таким образом, если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.