Пусть ABC – равнобедренный треугольник, где AB = AC, и I – центр вписанной окружности этого треугольника. Пусть P – точка касания окружности, описанной около треугольника ABC, с его боковой стороной AC.
Доказательство:
Шаг 1: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC.
Шаг 2: Поскольку треугольник ABC равнобедренный, его боковая сторона AC является биссектрисой угла B.
Шаг 3: Проведем биссектрису угла B треугольника ABC и обозначим точку пересечения с описанной окружностью как P.
Шаг 4: Так как P лежит как на биссектрисе угла B, так и на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то AP является радиусом этой окружности.
Шаг 5: Воспользуемся свойством радиуса окружности, а именно, что радиус окружности перпендикулярен касательной, проведенной в точке касания.
Шаг 6: Таким образом, AP перпендикулярна боковой стороне AC.
Шаг 7: Из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол A равен углу C.
Шаг 8: Так как AP перпендикулярна боковой стороне AC, то угол PAC также равен углу ACP.
Шаг 9: Таким образом, углы PAC и ACP равны друг другу и равны половине угла C.
Шаг 10: Так как углы PAC и ACP равны друг другу и равны половине угла C, то треугольник ACP – равнобедренный, а значит, PC = AC.
Шаг 11: Из равенства сторон PC и AC следует, что точка P лежит на биссектрисе угла C треугольника ABC и, следовательно, в центре вписанной окружности этого треугольника.
Шаг 12: Таким образом, окружность, касающаяся боковых сторон АС и АВ равнобедренного треугольника АВС, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.
Доказательство завершено.