Пусть ABCD – параллелограмм, AC и BD – его диагонали, а ∠BAD – угол между одной из сторон и диагональю. Нам нужно доказать, что ABCD является прямоугольником.
1. Известно, что углы между параллельными сторонами параллелограмма равны. Поэтому ∠ACB = ∠CDA.
2. Диагонали параллелограмма делят его на 4 треугольника. Таким образом, ∆ABC и ∆ACD являются равнобедренными треугольниками.
3. Одна из сторон равнобедренного треугольника (∆ABC) равна его биссектрисе (диагонали). То же верно и для ∆ACD.
4. Так как ∠BAC равен ∠DAC (диагонали образуют равные углы с одной из сторон), то ∆ABC и ∆ACD имеют равные основания и равные высоты.
5. Значит, ∆ABC и ∆ACD имеют равные площади.
6. Таким образом, площадь ABCD равна сумме площадей ∆ABC и ∆ACD.
7. Поскольку площади равны и основание одного из треугольников ∆ABC равно основанию ∆ACD, а высоты равны, это означает, что AC и BD являются одной и той же высотой для обоих треугольников.
8. Следовательно, AC и BD равны друг другу.
9. Параллелограмм с равными диагоналями и равными сторонами является прямоугольником.