Для начала, обозначим середины ребер АВ, ВС и ВД как P, Q и R соответственно. Проведем отрезки CP и BR.
Шаг 1: Докажем, что CP и BR перпендикулярны плоскости АСВ1.
Предположим, что это не так. То есть плоскости АСВ1 и СРВ не перпендикулярны. Пусть точка М будет точкой их пересечения. Тогда ВМ будет лежать и в плоскости АСВ1, и в плоскости СРВ.
Шаг 2: Докажем, что точка М лежит на отрезке СР.
Поскольку MQ является серединным перпендикуляром к СV, MQ будет перпендикулярно СV и равно половине длины СV. Аналогично, MR будет перпендикулярно DR и равно половине длины DR. Таким образом, М будет лежать и на CQ, и на CR.
Шаг 3: Докажем, что отрезки PМ, CQ и RМ пересекаются в одной точке.
Поскольку MQ является серединным перпендикуляром к СV, MQ будет перпендикулярно СV и равно половине длины СV. Аналогично, MP будет перпендикулярно AP и равно половине длины AP, и MR будет перпендикулярно DR и равно половине длины DR. Таким образом, PМ, CQ и RМ пересекаются в точке М.
Шаг 4: Доказательство.
Поскольку PМ, CQ и RМ пересекаются в одной точке М, получается, что точка М лежит и на плоскости С1DR, и на плоскости PQР. Но плоскости С1DR и PQР не могут пересекаться, так как А, В и Д лежат на одной прямой и плоскость PQР параллельна плоскости АСВ1. Следовательно, наше предположение было неверным, и CP и BR перпендикулярны плоскости АСВ1.
Таким образом, плоскость, проведенная через середины ребер АВ, ВС и ВД пирамиды АВСД, В, С1Д параллельна плоскости АСВ1.