Пусть ABCD – ромб, у которого угол BAD равен 45°. Докажем, что ABCD – квадрат.
1. Поскольку угол DAB равен 45°, то угол DBC также равен 45° (по условию ромба). Таким образом, треугольник DBC является равнобедренным.
2. Поскольку углы BCD и BDC равны, то сторона BC также равна стороне DC (по свойству равнобедренного треугольника).
3. Таким образом, стороны AB, BC, CD и DA равны друг другу.
4. Диагональ BD является серединой стороны AC (по свойству ромба), поэтому BD = ½AC.
5. Рассмотрим треугольник ABD. У него две равные стороны (AB и BD) и угол A равен 90° (так как угол BAD равен 45° и угол BAC равен 90°). Следовательно, треугольник ABD является прямоугольным.
6. Противоположные углы ромба равны, поэтому угол ADB также равен 90°.
7. Таким образом, треугольник ADB является прямоугольным со сторонами AB и BD.
8. Поскольку стороны AB и BD равны, то у треугольника ADB все стороны равны друг другу, и он является равносторонним.
9. Так как угол ADB равен 90° и все стороны треугольника равны, то треугольник ADB также является равноугольным.
10. Следовательно, ABCD – квадрат, так как он имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.
Таким образом, доказано, что ромб с углом между диагональю и стороной, равным 45°, является квадратом.