Для доказательства этого факта рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD в пространстве.
Пусть M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Мы должны показать, что M и N являются вершинами параллелограмма.
Шаг 1: Построение векторов
Рассмотрим векторы: →AM, →BC и →AN. Возьмем →AM как один из векторов параллелограмма. Тогда, чтобы показать, что M и N являются вершинами параллелограмма, нам нужно показать, что →AM = →CN.
Шаг 2: Деление векторов на половины
Так как M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно, мы можем записать →AM = 0.5 →AB и →CN = 0.5 →CD, где →AB и →CD — векторы, соответствующие сторонам AB и CD.
Шаг 3: Запись векторов в терминах других векторов
Используя представление векторов в терминах других векторов, мы можем записать →AB = →AD + →DC и →CD = →CA + →AD, где →AD, →DC и →CA — векторы между вершинами четырехугольника.
Шаг 4: Подстановка векторов
Подставим значения векторов →AB и →CD из предыдущего шага в выражения для →AM и →CN:
→AM = 0.5(→AD + →DC) и →CN = 0.5(→CA + →AD).
Шаг 5: Упрощение
Раскроем скобки и упростим полученные выражения:
→AM = 0.5→AD + 0.5→DC и →CN = 0.5→CA + 0.5→AD.
Шаг 6: Сокращение
Заметим, что 0.5 и 0.5 можно сократить:
→AM = →AD + 0.5→DC и →CN = 0.5→CA + →AD.
Шаг 7: Перегруппировка слагаемых
Мы можем перегруппировать слагаемые в выражениях для →AM и →CN:
→AM = →AD + →DC/2 и →CN = →CA/2 + →AD.
Шаг 8: Проверка равенства
Так как →DC = −→CA (противоположные стороны параллелограмма равны), мы можем заменить →DC/2 в выражении для →AM на −→CA/2:
→AM = →AD − →CA/2 и →CN = →CA/2 + →AD.
Шаг 9: Подстановка в выражение для →AM
Подставим выражение для →CN вместо →AD в выражение для →AM:
→AM = →CN − →CA/2 − →CA/2 и →CN = →CA/2 + →AD.
Шаг 10: Упрощение
Упростим выражение для →AM:
→AM = →CN − →CA.
Шаг 11: Результат
Мы получили, что →AM = →CN. Значит, M и N являются вершинами параллелограмма.
Таким образом, мы доказали, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.