Для начала, рассмотрим два подобных треугольника ABC и A’B’C’, где сторона AB подобна стороне A’B’, сторона BC подобна стороне B’C’ и сторона AC подобна стороне A’C’.
Пусть точка I обозначает центр вписанной окружности треугольника ABC, а M и N – точки пересечения биссектрисы угла A и стороны BC с вписанной окружностью.
Мы знаем, что биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BM и MC, пропорциональные соседним сторонам AB и AC. Поэтому мы можем записать:
BM / MC = AB / AC (1)
Также мы знаем, что угол A’ в подобных треугольниках равен углу A, поэтому точка I’ – центр вписанной окружности треугольника A’B’C’ также лежит на биссектрисе угла A’.
Аналогично, пусть точки M’ и N’ – это точки пересечения биссектрисы угла A’ с стороной B’C’ и вписанной окружностью A’B’C’.
Теперь посмотрим на подобные треугольники A’B’C’ и ABC. По теореме о трёх перпендикулярах, линия, соединяющая точку пересечения биссектрис угла и центров вписанных окружностей треугольников, перпендикулярна к основанию каждой из этих биссектрис. Это означает, что линия, соединяющая точки M и M’ также перпендикулярна к стороне BC.
Теперь мы можем записать:
BM / MC = M’B’ / M’C’ (2)
Поскольку треугольники A’B’C’ и ABC подобны, часть (1) равна части (2):
AB / AC = M’B’ / M’C’
Но искомое отношение двух сходственных сторон равно AB / A’B’ и AC / A’C’.
То есть, AB / AC = A’B’ / A’C’
Теперь мы можем записать:
AB / A’B’ = AC / A’C’ = M’B’ / M’C’
Таким образом, доказано, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению биссектрис.