Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB = BC и ∠ABD =∠CBD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания. 3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM =∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK. 4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO. 5. Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD. На

1. Рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. У нас имеются две равные стороны AB = BC и одинаковые углы ∠ABD = ∠CBD. Таким образом, по правилу SSW (сторона-сторона-угол) треугольники ABD и CBD равны.

2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см, а боковая сторона будет равна (x-6) см. По определению периметра равен трех сторонам треугольника, то есть x + (x-6) + (x-6) = 30 см. Решаем уравнение: 3x – 12 = 30. Получаем значение x = 14 см. Таким образом, длина основания равна 14 см, а боковые стороны равны 8 см каждая.

3. Обратимся к треугольникам ABM и CBK. У нас имеются две равные стороны BM = BK и одинаковые углы ∠ABM = ∠CBK. Следовательно, треугольники ABM и CBK равны. А значит, стороны AM и CK также равны.

4. Рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. У нас имеются две равные стороны AB = AD и BC = DC. По правилу SSS (сторона-сторона-сторона) треугольники ABD и CBD равны. Таким образом, BO = DO.

5. Рассмотрим треугольник ABC. По определению медианы, BM является линией, соединяющей вершину тругольника B с серединой стороны AC. По определению биссектрисы, AD является линией, делящей угол C на два равных угла. Если медиана перпендикулярна биссектрисе, то это значит, что угол BMC является прямым углом.