Два конуса имеют общее основание, причем один из них находится внутри другого. Образующие этих конусов составляют с плоскостью основания углы 60 и 30 а) Докажите, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, считая от вершины большего конуса. б) Найдите объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если известно, что сумма высот обоих конусов равна 4.

а) Для доказательства того, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, нам нужно рассмотреть подобные треугольники.

Обозначим вершину большего конуса как точку A и вершину меньшего конуса как точку B. Пусть H1 и H2 – высоты большего и меньшего конусов соответственно.

Рассмотрим треугольники AHB и ABC. Они имеют общую сторону AB и равные углы при вершине A, так как они подобны. Углы при вершине B также равны, так как они соответственные углы. Угол BAC равен 30 градусам, так как он является углом наклона образующей меньшего конуса к основанию. Угол BAH равен 60 градусам, так как это комплиментарный угол к углу ABC.

Теперь мы знаем, что треугольник BAH – это прямоугольный треугольник с углом BAH, равным 60 градусам. Значит, треугольник BAH – это треугольник 30-60-90.

В таком треугольнике отношение длин сторон равно 1:√3:2. Значит, отношение BH к HA равно 2:1. А так как высота большего конуса H1 и высота меньшего конуса H2 являются соответствующими отрезками в треугольниках AHB и ABC, то вершина меньшего конуса B делит высоту большего конуса H1 в отношении 2:1.

б) Объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, можно найти, вычислив объем меньшего конуса и вычесть его из объема большего конуса.

Формула для объема конуса V = (1/3)πr^2h, где r – радиус основания и h – высота конуса.

По условию задачи, сумма высот обоих конусов равна 4. Обозначим высоту большего конуса H1 и высоту меньшего конуса H2.

Так как вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, то H1 = 2H2.

Также, так как объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, равен объему большего конуса минус объем меньшего конуса, то V = (1/3)πr1^2H1 – (1/3)πr2^2H2.

Заменяем H1 на 2H2 и упрощаем выражение, получаем:
V = (1/3)πr1^2(2H2) – (1/3)πr2^2H2.
V = (2/3)πr1^2H2 – (1/3)πr2^2H2.
V = (1/3)πH2(r1^2 – r2^2).

Осталось выразить H2 через H1. Из условия H1 = 2H2 выражаем H2 = H1/2.

Подставляем это в формулу для объема, получаем:
V = (1/3)π(H1/2)(r1^2 – r2^2).
V = (1/6)πH1(r1^2 – r2^2).

Таким образом, объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, равен (1/6)πH1(r1^2 – r2^2).