На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть a, b и c – длины ребер параллелепипеда. Тогда из условия задачи следует, что:
a² + b² = 16², (1)
a² + c² = 32², (2)
b² + c² = 48². (3)
Возведем в квадрат оба уравнения (1) и (2):
a⁴ + 2a²b² + b⁴ = 16⁴, (4)
a⁴ + 2a²c² + c⁴ = 32⁴. (5)
Теперь вычтем уравнение (5) из уравнения (4):
2a²b² – 2a²c² + b⁴ – c⁴ = 16⁴ – 32⁴,
2a²(b² – c²) + (b² – c²)(b² + c²) = 16⁴ – 32⁴,
(b² – c²)(2a² + b² + c²) = -3*16⁴.
В условии задачи указано, что боковая диагональ параллелепипеда равна 48. Боковая диагональ выразить через ребра можно по формуле: d = √(a² + b²), где d – боковая диагональ.
Возведем в квадрат это равенство:
d² = a² + b².
Возведем в квадрат выражение (b² – c²)(2a² + b² + c²):
(b² – c²)² (2a² + b² + c²)² = (a² + b²)² (2a² + b² + c²).
Так как d² = a² + b², то:
(b² – c²)² (2a² + b² + c²)² = d² (2a² + b² + c²).
Подставим в полученное уравнение данные из уравнения (3):
(48² – c²)² (2a² + 48² + c²)² = 48² (2a² + 48² + c²),
(48² – c²)² (2a² + c² + 48²)² = 48² (2a² + c² + 48²).
Теперь умножим оба уравнения справа и слева на (48² – c²)²:
((48² – c²)²)² (2a² + c² + 48²)² = (48²)² (2a² + c² + 48²).
Раскроем скобки:
(48² – c²)⁴ (2a² + c² + 48²)² = (48²)² (2a² + c² + 48²).
Поделим весьма великое равенство на (48²)² (2a² + c² + 48²)²:
(48² – c²)⁴ = (48²)².
Возьмем квадратный корень от обоих частей равенства:
(48² – c²)² = 48².
Раскроем скобки:
48⁴ – 2*48²*c² + c⁴ = 48².
Упростим уравнение:
48⁴ – 48²(c² – 48²) + c⁴ = 48²,
c⁴ – 48²(c² – 48²) = 0,
c⁴ – 48²c² + 48⁴ = 0.
Обозначим с² = x, тогда уравнение примет вид:
x² – 48²x + 48⁴ = 0.
Решим получившееся квадратное уравнение относительно x:
x₁,₂ = [48² ± √((48²)² – 4*48⁴)] / 2,
x₁,₂ = [48² ± 48²√(1 – 4)] / 2.
Дискриминант D = ((48²)² – 4*48⁴) = 0.
То есть уравнение имеет один корень x₁ = x₂ = (48² * 1) / 2 = 48².
Таким образом, c² = 48², поэтому c = 48.
Подставим значение c в уравнение (3):
b² + 48² = 48²,
b² = 0,
b = 0.
Из уравнения (1) получим:
a² + 0 = 16²,
a² = 16²,
a = 16.
Таким образом, длины ребер параллелепипеда равны: a = 16, b = 0, c = 48.
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:
S = 2ab + 2ac + 2bc.
Подставим значения a, b и c в формулу:
S = 2 * 16 * 0 + 2 * 16 * 48 + 2 * 0 * 48 = 1536.
Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна 1536.
