две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой – в точке B. Докажите что точка M лежит на окружности с диаметром AB

Пусть окружности имеют центры O1 и O2, а радиусы равны r1 и r2 соответственно.
Точки A, B и M лежат на одной прямой, так как образуют прямую, касающуюся окружностей в точках касания.
Рассмотрим треугольник O1MO2.
Он имеет две равные стороны (O1M и O2M), так как оба радиуса равны.
Также у треугольника O1MO2 смычка углов, так как прямая AB является общей касательной и проходит через точку M.
Поэтому треугольник O1MO2 является равнобедренным.
То есть, угол O1MO2 равен углу O2MO1.
Но угол O2MO1 – это угол, образованный диаметром AB и хордой OM.
По свойству окружности, угол, образованный хордой и диаметром, это прямой угол.
Таким образом, угол O2MO1 равен 90 градусам, и точка M лежит на окружности, диаметром которой является AB.