На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Задача связана с построением окружностей, ищется радиус одной из них. Назовём радиус меньшей окружности r1, а радиус большей окружности r2.
Рассмотрим треугольник, образованный радиусами и отрезком, соединяющим центры окружностей. По условию, этот треугольник равнобедренный и угол при основании равен 60°. Так как треугольник равнобедренный и угол при вершине 60°, то два других угла равны 60°.
Пусть точка A – центр меньшей окружности, B – центр большей окружности, O – произвольная точка на отрезке AB. Проведем радиусы меньшей и большей окружностей AO и BO.
Так как треугольник AOB равнобедренный, то радиусы AO и BO равны между собой: AO = BO = r.
Также вспомним свойство поворота вписанного угла: угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, то есть O = 60/2 = 30°.
Обозначим точку пересечения меньшей и большей окружностей точкой C.
Значит, треугольник BOC является равнобедренным треугольником со сторонами BO = OC = r и углом O = 30°.
Рассмотрим треугольник BCO. У этого треугольника гипотенуза равна r, а угол при основании равен 30°. Таким образом, угол между гипотенузой и боковой стороной равен 180° – 30° – 90° = 60°.
Заметим, что этот угол равен углу между касательной к большей окружности и хордой BC.
Угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, то есть 60/2 = 30°.
Значит, угол между касательной и хордой равен 30°, а угол между хордой и диаметром, содержащим эту хорду, равен 90°.
Так как хорда BC является диаметром большей окружности, то угол между хордой и диаметром в большей окружности равен 90°.
Из этого следует, что угол между хордой BC и радиусом BO также равен 90°.
Таким образом, треугольник BCO является прямоугольным треугольником с углом 30° между гипотенузой и катетом.
Применим тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника: tg(30°) = BO / CO.
В равнобедренных треугольниках боковая сторона равна половине основания (можно вывести через теорему синусов).
Следовательно, CO = BC / 2 = r2 / 2.
Тангенс угла 30° равен √3.
Тогда получаем: √3 = BO / (r2 / 2), BO = √3 * r2 / 2.
Таким образом, радиус большей окружности равен √3 * r2 / 2. Возьмем изначально известное значение меньшего радиуса r1 = 8 и подставим его: радиус большей окружности r2 = √3 * 16 / 2 = 4√3.
Ответ: радиус большей окружности равен 4√3.
