Две окружности пересекаются в точках А и в. Из точки м на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная МХ длины 2 ко второй. Найдите CD, если известно, что С – середина MD.

Пусть центры окружностей – точки O1 и O2, а радиусы – R1 и R2 соответственно. Точка C – середина отрезка MD и находится на пересечении хорды MC и касательной MX. Пусть точка H – точка пересечения CD и О1О2 (это общая хорда окружностей). Мы знаем, что О1М ортогональна МС (поскольку О1М является радиусом) и МО1О2М – прямоугольник. Пусть точка N – середина О1О2. Тогда NO1 – радиус окружности О1, а НО1М – прямоугольный треугольник. Треугольник НО1М равнобедренный, поскольку NO1 = NM (так как О1Н является медианой в треугольнике О1МО2) и угол НО1М равен 90 градусам (поскольку О1М ортогональна МС). Тогда для треугольника НО1М выполняются следующие равенства:
НМ^2 = NO1^2 + О1М^2
НМ^2 = R1^2 + (MC + МС)^2
NH^2 + MH^2 = R1^2 + MC^2 + 2 * MC * МС + МС^2
NH^2 + MH^2 = 2 * R1^2 + MC^2 + 2 * MC * МС
НМ^2 = NO2^2 + О2М^2
НМ^2 = R2^2 + MX^2
НH^2 + MH^2 = R2^2 + MX^2
Так как МХ = 2, то НH^2 + MH^2 = R2^2 + 4
2 * R1^2 + MC^2 + 2 * MC * МС = R2^2 + 4
Известно, что С – середина отрезка MD, а значит MD = 2 * CD.
Тогда MC = CD – CM, т.к. CM = СD.
Таким образом получим: 2 * R1^2 + (CD – CM)^2 + 2 *(CD – CM) * МС = R2^2 + 4
Теперь решим получившееся уравнение относительно CD.